Makalah Keterbagian

MAKALAH TEORI BILANGAN

KETERBAGIAN

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK III

DARMIANI (60600116012)

HASRIANTI (60600116033)

NURHASANAH (60600116054)
NURUL FATIMAH (60600116075)

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR

2017

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM.  Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar.

Teori bilangan adalah salah satu !abang pelajaran matematika. dalam teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. "keterbagian bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematika harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam bentuk catatan yang insya Allah akan menambah pengetahuan kita semua sebagai mahasiswa Jurusan Matematika.

B.     Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Apa definisi dari keterbagian bilangan?

2.      Apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan?

3.      Bagaimana keterbagian oleh 2, 3, 4, 5 dsb?

4.      Bagaimana keterbagian oleh 7, 11, 13 dsb?

C.    Tujuan

Adapun tujuan dalam penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Untuk mengetahui definisi keterbagian;

2.      Untuk mengetahui sifat-sifat keterbagian;

3.      Untuk mengetahui keterbagian oleh 2, 3, 4, 5 dsb;

4.      Untuk mengetahui keterbagian oleh 7, 11, 13 dsb.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A.    Keterbagian

Aturan keterbagian adalah cara singkat untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat yang diberikan habis dibagi oleh pembagi tertentu tanpa melakukan perhitungan pembagian, biasanya dengan memeriksa angka-angkanya. Meskipun ada pengujian di setiap basis dan mereka semua berbeda, artikel ini menyajikan aturan dan contoh hanya untuk bilangan desimal, atau basis 10. Martin Gardner menjelaskan dan mempopulerkan aturan ini dalam kolomnya, "Mathematical Games" ("Permainan Matematika"), di Scientific American edisi September 1962.

1.      Aturan keterbagian untuk pembagi 1–12

Aturan yang diberikan di bawah, umumnya mengubah bilangan yang diberikan menjadi bilangan yang lebih kecil, sambil menjaga kemampuan dibaginya. Sehingga, selain dinyatakan lain, angka yang dihasilkan harus diuji untuk kemampuan dibaginya dengan pembagi yang sama. Pada kasus tertentu, proses ini dapat diulangi sampai kemampuan dibaginya terlihat jelas; untuk lainnya (misalkan mengecek n angka terakhir) hasilnya harus diuji dengan aturan lainnya.

Pembagi	Persyaratan dapat habis dibagi	Contoh
1	Tanpa syarat. Semua bilangan bulat habis dibagi dengan 1.	2 habis dibagi dengan 1.
2	Angka terakhir adalah genap (0, 2, 4, 6, atau 8).[1][2]	48: 8 adalah genap.
3	Jumlahkan angka-angkanya. Hasilnya harus habis dibagi dengan 3.[1][3][4]	987.144 → 9 + 8 + 7 + 1 + 4 + 4 = 33 dan 33 → 3 + 3 = 6.
4	Dua angka terakhir habis dibagi dengan 4.[1][2]	8.724: 24 habis dibagi dengan 4.
5	Angka terakhir adalah 0 atau 5.[1][2]	827.319.465: angka terakhirnya adalah 5.
6	Habis dibagi dengan 2 dan dengan 3.[5]	327.732 → 3 + 2 + 7 + 7 + 3 + 2 = 24 dan angka terakhirnya genap.
7	Bentuk penjumlahan beralih dari tiap tiga angka dimulai dari paling kanan. Hasilnya harus habis dibagi dengan 7.[4][6]	1.369.851 → 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69.
8	Tiga angka terakhir habis dibagi dengan 8.[1][2]	8.152: 152 habis dibagi dengan 8.
9	Jumlahkan angka-angkanya. Hasilnya harus habis dibagi dengan 9.[1][3][4]	987.165 → 9 + 8 + 7 + 1 + 6 + 5 = 36 dan 36 → 3 + 6 = 9.
10	Angka terakhir adalah 0.[2]	9.460: angka terakhirnya adalah 0.
11	Bentuk penjumlahan beralih dari tiap-tiap angka dimulai dari paling kiri. Hasilnya harus habis dibagi dengan 11.[1][4]	918.082 → 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 11 × 2.
12	Habis dibagi dengan 3 dan dengan 4.[5]	324 → 3 + 2 + 4 = 9 dan 24 habis dibagi dengan 4.

B.     Teorema Keterbagian

Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan di dalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema.

Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil baginya adalah suatu bilangan bulat atau suatu bilangan yang tidak bulat, misalnya, jika 40 dibagi 8, maka hasil baginya adalah bilangan bulat 8; tetapi jika 40 dibagi 16, maka hasil baginya adalah 2,5. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian.

Definisi 2.1

Suatu bilangan bulat q habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p ≠ 0 jika ada suatu bilangan bulat x sehingga q = px

Notasi

p | q     dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, atau q kelipatan dari p

p Q q   dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p, atau q bukan kelipatan dari p

Contoh 2.1
6 | 18 sebab ada bilangan bulat 3 sehingga 18 = 6.3
12 Q  15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 12.x
5 | -30 sebab ada bilangan bulat -6 sehingga -30 = 5.(-6)
-4 | 20 sebab ada bilangan bulat 5 sehingga 20 = (-4).5

Berdasarkan definisi 2.1 diatas jelas bahwa faktor-faktor suatu bilangan bisa merupakan bilangan bulat positif atau merupakan bilangan bulat negatif. Dengan demikian, faktor-faktor dari:

6, adalah 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, dan -6

15, adalah 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15,  dan -15

Beberapa sifat sederhana keterbagian adalah :

      1 | p  untuk setiap p Î Z

      p | 0  untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0

      p | p  untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0

4 Jika p | q, maka kemungkinan hubungan antara p dan q adalah p < q, p = q, atau p > q (misalnya 3 | 6, 3 | 3, atau 3 | -3)

Teorema 2.1

Jika p, q Î Z dan  p | q, maka p | qr untuk semua  r Î Z

Bukti:

Diketahui bahwa p | q, maka menurut definisi 2.1, ada suatu xÎZ sehingga   q  =  px

q = px berarti qr = pxr, atau qr = p(x.r) dengan xr Î Z (sebab x Î Z dan r Î Z)

Sesuai dengan definisi 2.1, karena qr = p(xr) maka p | qr

Teorema 2.2

Jika p , q, r Î Z, p | q, dan q | r , maka p | r

Bukti:

Diketahui p | q dan q | r, maka menurut definisi 2.1, tentu ada x, y Î Z sehingga q = px dan r  =  qy,

r = qy dan q  =  px, maka r  =  (px)y atau r  =  p (xy) dengan x, yÎZ

Sesuai dengan definisi 2.1, karena r = p(xy), maka  p | r

Teorema 2.3

Jika p, q Î Z, p | q dan q | p, maka p = q

Bukti:

Diketahui p | q dan q | p maka menurut definisi 2.1, terdapat x,y Î Z sehingga

p = qx dan q  =  py.

Jadi: p = (py)x = p(yx) = (xy) = (xy)p, atau 1.p = (xy) p, sehingga xy = 1

Dengan demikian, karena x,y Î Z dan xy = 1, maka diperoleh x = -1 = y atau

x = 1 = y

Jika x = -1 = y, maka p = -q

Jika x = 1 = y, maka p = q

Teorema 2.4

Jika p, q, r Î Z, p | q dan p | r, maka p | q + r

Bukti:

Karena p | q dan p | r, maka menurut definisi 2.1, ada x,y Î Z sehingga q =  px dan r = py.

Dengan demikian q + r = px + py = p(x + y)

Kerena x,yÎZ, maka sesuai dengan sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat,    x + y Î Z

Jadi : p | q + r

Teorema 2.4 dapat diperluas tidak hanya berlaku untuk q, r tetapi untuk q, r, s, t,.., artinya jika p | q, p | r, p | s, p | t, dan…, maka p | q  +  r  +  s  +  t  +…

Selanjutnya, teorema 2.4 tetap berlaku jika operasi penjumlahan (+) diganti dengan operasi pengurangn (–), buktikan !

Teorema 2.5

Jika p, q, r Î Z, p | q dan p | r, maka  p | qx + ry untuk semua x, y Î Z             (qx + ry disebut kombinasi linear dari q dan r)

Teorema 2.6.

Jika p, q, r Î Z, p  > 0, q  >  0, dan p | q, maka p  £  q

Bukti:

Karena p | q, maka menurut definisi 2.1, ada x Î Z sehingga q = px

Karena p > 0, q > 0, dan q = px, maka x > 0

Karena x Î Z dan x > 0, maka kemungkinan nilai-nilai x adalah 1, 2, 3, …, yaitu x = 1 atau x > 1

Jika x = 1, maka q = px = p(1) = p.

Jika x > 1, dan q = px, maka p < q

Jadi  p  ≤  q

Teorema 2.7

Jika p, q, r Î Z, p > 0, q > 0, p | q dan q | p, maka p = q.

Teorema 2.8

p | q jika dan hanya jika kp | kq untuk semua k Î Z dan k ≠ 0

Teorema 2.9

Jika p, q, r Î Z, p ≠ 0, p | q + r, dan p | q, maka p | r

 

    

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A.    Metode Penulisan

Metode merupakan cara utama yang akan ditempuh untuk menemukan jawaban dari suatu permasalahan. Berdasarkan hal tersebut, maka dalam penulisan makalah ini menggunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu, penelitian yang dilakukan diperpustakaan yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasi dengan bermacam materil yang terdapat di perpustakaan. Buku-buku matematika seperti: teori bilangan, analisis real dan referensi lain yang relevan.

B.     Tempat dan Waktu Penulisan

Adapun tempat dalam penulisan makalah ini yaitu Gedung Pusat (Rektorat) Lt. 3 dan waktu penulisannya pada Senin, 29 Mei 2017 pada pukul 08:00 WITA – selesai.

 

BAB IV

PEMBAHASAN

A.    Definisi Keterbagian

Keterbagian atau disisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain. Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a=bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b.

Keterbagian merupakan sifat-sifat yang harus dimiliki suatu bilangan agar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Di sini ‘habis’ maksudnya adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. Sebagai contoh, 28 habis dibagi 4, yang hasilnya adalah 7. Sedangkan 30 tidak habis dibagi 8, karena menghasilkan 4 ditambah sisa 6. Jika a habis dibagi oleh b, atau sebut b membagi a, maka dapat dinyatakan dengan . Keterbagian merupakan salah satu topik yang penting dalam teori bilangan.

B.     Sifat-Sifat Keterbagian

Berikut sifat-sifat keterbagian :

untuk sembarang bilangan bulat x dan y

Penjelasan Sifat-Sifat Keterbagian diatas :

1.      Jika suatu bilangan b dibagi oleh bilangan a, dan bilangan c dibagi oleh bilangan b, maka bilangan c dapat dibagi bilangan a.

2.      Jika suatu bilangan c dibagi oleh ab (ab merupakan perkalian dua buah bilangan), maka c dapat dibagi oleh bilangan a dan dapat dibagi oleh bilangan b.

3.      Jika suatu bilangan b dan c dapat dibagi oleh bilangan a, maka ketika bilangan b dan c tersebut dikali dengan suatu bilangan bulat, akan dapat pula dibagi oleh bilangan a.

Berikut adalah sifat-sifat keterbagian yang lainnya :

a.       Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n. Contoh :

134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.      Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5. Contoh :

67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.       Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3. Contoh :

356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.      Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Contoh :

23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.       Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.

Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f.       Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g.      Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.

Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.

Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

h.      Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i.        Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

j.        Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k.      Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

Berikut adalah sifat-sifat keterbagian suatu bilangan :

1.          Bilangan kelipatan 2

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap (satuan 0, 2, 4, 6, atau 8)

Contoh:

3.560,  467.792,  687.904,  7.586.436,  8.765.368

2.          Bilangan kelipatan 3

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3. Contoh :

564.741 ------ jumlah angka-angkanya 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 1 = 27 ---- 2 + 7 = 9

9 merupakan bilangan kelipatan 3, jadi 564.741 juga merupakan bilangan kelipatan 3.

3.          Bilangan kelipatan 4

Jika nilai 2 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 4. Contoh:

53.632 -------- 32 merupakan bilangan kelipatan 4, jadi 53.632 juga merupakan bilangan kelipatan 4.

4.          Bilangan kelipatan 5

Jika bilangan tersebut bersatuan 0 atau 5

Contoh: 5.095,  53.890

5.          Bilangan kelipatan 6

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap, dan jumlah angka-angkanya pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3

Contoh:

24.576 ---------- bersatuan 6, berarti merupakan bilangan genap

Jumlah angka-angkanya 2 + 4 + 5 + 7 + 6 = 24 ----- 2 + 4 = 6 ( 6 kelipatan3)

Karena memenuhi kedua syarat tersebut, maka 24.576 merupakan bilangan kelipatan 6.

6.          Bilangan kelipatan 7

Sampai saat ini belum diketemukan formulanya

7.          Bilangan kelipatan 8

Jika nilai 3 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 8. Contoh:

5.768.144 ----- 144 merupakan bilangan kelipatan 8, jadi 5.768.144 juga merupakan bilangan kelipatan 8.

8.          Bilangan kelipatan 9

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 9. Contoh:

43.785 --------- jumlah angka-angkanya  4 + 3 + 7 + 8 + 5 = 27 ---- 2 + 7 = 9

9 merupakan bilangan kelipatan 9, jadi 43.785 juga merupakan bilangan kelipatan 9

9.          Bilangan kelipatan 10

Jika nilai satuanya adalah 0

Contoh : 5.640,   67.000,  435.790

C.    Keterbagian oleh 7, 11, 13 dsb

1.      KETERBAGIAN OLEH 7

Misalkan untuk mempermudah penulisan:
a = (anan-1an-2an-3an-4...a1a0). Contohnya: 123, maka an=1, an-1 = 2, dan a0=3
L = anan-1an-2...a1. Contohnya: 123, maka L=12.
A = L-2a0. Contohnya: 123, maka A=12-6=6.

Teorema ini mencakup istilah 'jika dan hanya jika' sehingga buktinya harus mencakup dua bagian. Pertama harus dibuktikan bahwa jika 7x a maka juga 7x A. Setelah itu harus dibuktikan bahwa jika 7x A maka juga 7x a. Bukti bagian pertama disebut pembuktian ke'perlu'an sedangkan pembuktian bagian kedua disebut pembuktian ke'cukup'an.

Bukti bagian Keperluan:
Artinya harus dibuktikan apabila a mod 7 = 0, maka A mod 7 = 0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A= L-2a0.
Anggap bahwa
a mod 7 = 0
(10 L+a0) mod 7 = 0.
(20L+2a0) mod 7 =0. (Jika dikali 2, maka modulo tetap berlaku)

Ingat bahwa (21L) mod 7 = 0, maka:
(21L+2a0-2a0) mod 7 =0
(20L+2a0+L-2a0) mod 7 =0
(20L+2a0)mod 7 + (L-2a0) mod 7 =0
(L-2a0)mod 7 =0. ----Terbukti

Bukti bagian Kecukupan:
Artinya harus dibuktikan apabila A mod 7 = 0, maka a mod 7 =0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0.
Anggap bahwa:
A mod 7 = 0
(L -2a0) mod 7 =0
(10L-20a0)mod 7 = 0 (Jika dikali 10, maka modulo tetap berlaku)

Ingat bahwa (-21ao)mod 7 =0
(-20a0-a0) mod 7 =0
(10L-10L-20a0-a0 )mod 7 =0
(10L-2a0-10L-a0) mod 7 =0
(10L-2a0)mod7-(10L+a0) mod7=0
-(10L+a0) mod7=0
(10L+a0) mod7=0. ----Terbukti

2.      KETERBAGIAN OLEH 1
Lihat kembali bagian divisibility (keterbagian) untuk contohnya.
Untuk ciri habis dibagi 11, perhatikanlah bahwa 10 = 11-1 sehingga:
a = an x 10ⁿ + an-1 x 10^n-1 + an-2 x 10^n-2 +... + a1 x 10¹ + a0 x 10⁰ dapat diubah penulisannya menjadi:
a = an x (11-1)ⁿ + an-1 x (11-1)^n-1 + an-2 x (11-1)^n-2 +... + a1 x (11-1)¹ + a0
Kemudian ingatlah penguraian binom Newton:

(a+b)ⁿ=[aⁿ+.a^n-1b¹+.a^n-2 b²+...+.a¹b^n-1]+ bⁿ yang dapat dipilah menjadi dua bagian. Bagian pertama yang pada persamaan di atas telah dikumpulkan di antara kurung-siku adalah kelipatan a sehingga habis dibagi a. Pada bagian ini, bagian yang tidak dapat dibagi a adalah bⁿ. Jadi, dapat ditulis sebagai berikut:
(a+b)ⁿ mod a = bⁿ. Lihat juga bahasan mengenai Modulo".   
Yang perlu dibuktikan adalah jika a merupakan kelipatan 11, maka hasil jumlah tanda ganti digit-digitnya juga merupakan kelipatan 11.
Maka, anggap:
a mod 11 = 0.
{an x (11-1)ⁿ + an-1 x (11-1)^n-1 + an-2 x (11-1)^n-2 +... + a1 x (11-1)¹ + a0} mod 11 =0
____Ingat bahwa (a+b)ⁿ mod a = bⁿ maka (11-1)n mod 11 = (-1)n, maka:
{an(-1)ⁿ+ an-1(-1)^n-1+...+ an-2(-1)^n-2+...+a2(-1)²+a1(-1)¹+ a0} mod 11=0--Terbukti--

(Perhatikan bahwa (-1)ⁿ akan mengakibatkan setiap unsur ganjil dan genap akan bebeda tanda.)

DAFTAR PUSTAKA

Baker, A. (2003). Algebra & Number Theory. Naskah. University of Glasgow.

Andreescu, T., D. Andrica, Z. Feng (2006). 104 Number Theory Problems: From

the Training of the USA IMO Team. Birkhäuser Boston.

SN, Fadhila. 2014. “Konsep Dasar Keterbagian” (http://fadhilasn.blogspot.co.id/2014/11/konsep-dasar-keterbagian.html) diakses pada 29 Mei 2017

Sukyati. (1997). Keterbagian Suatu Bilangan Oleh Bilangan Yang Kurang dari 10 (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.

Supinah. (00). Bilangan Asli, Cacah dan Bulat (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.